Lösungsanleitung für Beispiel 11

May 22, 2018 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Einführung in die Algebra UE SS15

Anleitung zur Lösung von Bsp. 11 b) Dies ist eine Anleitung zur Lösung von Beispiel 11b), keine vollständige Lösung. Man beachte, dass es (wie immer) unterschiedliche Lösungswege gibt; im Nachfolgenden wird jedoch nur einer beschrieben. Es sei Dn = ({ai bj | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j ≤ 1, ai = b2 = e, ab = ban−1 }) die Diedergruppe mit 2n Elementen. Wir kennen alle Untergruppen von D3 aus der Vorlesung (1.7.5) bzw. aus Beispiel 10 vom vorigen Übungsblatt (3 ist eine Primzahl). Diese sind: 1. {e}, 2. {e, b}, {e, ab}, {e, a2 b}, 3. {e, a, a2 } und 4. D3 Man beweise zuerst das folgende Lemma (z.B. mithilfe der Kürzungsregeln in einer Gruppe). Lemma. Sei G eine Gruppe mit Untergruppen U und V . Ist U eine zu V konjugierte Untergruppe, dann |U | = |V |. Wir schreiben [H] = {gHg −1 | g ∈ G} für die Konjugiertenklasse einer Untergruppe H von D3 . Mithilfe des Lemmas wissen wir nun (man zähle die Elemente der Untergruppen): 1. [{e}] = {{e}}, 2. [{e, a, a2 }] = {{e, a, a2 }} und 3. [D3 ] = {D3 } Es bleiben die Konjugiertenklassen von {e, b}, {e, ab} und {e, a2 b} zu bestimmen. Wir bestimmen die zu b konjugierten Elemente (durch Berechnen von xbx−1 für alle x ∈ D3 ) und sehen: b ∼ a2 b = aba−1 und b ∼ ab = (a2 b)b(a2 b)−1 und schlussfolgern [{e, b}] = {{e, b}, {e, ab}, {e, a2 b}} = [{e, ab}] = [{e, a2 b}] Nun zu D4 : Zuerst müssen wir alle Untergruppen von D4 bestimmen. Da |D4 | = 8, folgt aus dem Satz von Lagrange, dass |H| ∈ {1, 2, 4, 8} für alle Untergruppen H von D4 gilt. Die Untergruppen der Größe 1 bzw. 8 sind offenbar {e} bzw. D4 .

Einführung in die Algebra UE SS15

Die Untergruppen der Größe 2 können mit derselben Methode bestimmt werden, die in der Musterlösung von Beispiel 10b) beschrieben ist. Es sind: {e, a2 }, {e, b}, {e, ab}, {e, a2 b}, {e, a3 b} Nun müssen wir noch die Untergruppen der Größe 4 bestimmen. Diese sind: {e, a, a2 , a3 }, {e, a2 , b, a2 b}, {e, a2 , ab, a2 b} Diese Teilmengen sind Untergruppen von D4 (nachrechnen), und wir beweisen, dass es keine weiteren Untergruppen der Größe 4 gibt: Sei H 6= {e, a, a2 , a3 } eine Untergruppe der Größe 4. Dann enthält H mindestens 2 Elemente der Form ai b und aj b für i > j und i, j ∈ {0, 1, 2, 3}. Dann ai−j = (ai b)(aj b) ∈ H Angenommen i − j = 2, dann ist i = 3 und j = 1 oder i = 2 und j = 0. Es folgt H = {e, a2 , ab, a2 b} bzw. H = {e, a2 , b, a3 b}. Ist i − j 6= 2, dann i − j ∈ {1, 3}. In beiden Fällen folgt hai = ha3 i ⊂ H, und damit |H| > 4, ein Widerspruch zur Annahme. (Vergleiche mit der Musterlösung zu Beispiel 10.) Zu allerletzt wollen wir noch die Konjugiertenklassen der Untergruppen von D4 angeben: Wir wissen (z.B. mithilfe des Lemmas), dass [{e}] = {{e}}

und

[D4 ] = {D4 }

Mit [x] bezeichnen wir hier die Konjugiertenklasse eines einzelnen Elements x. Es ist (durch Nachrechnen) einfach zu überprüfen, dass 1. [e] = {e}, 2. [a] = {a, a3 }, 3. [a2 ] = {a2 } und 4. [b] = {b, ab, a2 b, a3 b} gilt. Wir köennen hieraus die (noch nicht bestimmten) Konjugiertenklassen der Untergruppen von D4 ablesen: 1. [{e, a2 }] = {{e, a2 }}, 2. [{e, ai b}] = {{e, b}, {e, ab}, {e, a2 b}, {e, a3 b}} für i ∈ {0, 1, 2, 3}, 3. [{e, a, a2 , a3 }] = {{e, a, a2 , a3 }} und 4. [{e, a2 , b, a2 b}] = [{e, a2 , ab, a2 b}] = {{e, a2 , b, a2 b}, {e, a2 , ab, a2 b}}

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